izvestswsuИзвестия Юго-Западного государственного университетаProceedings of the Southwest State University2223-15602686-6757ЮЗГУ10.21869/2223-1560-2021-25-3-86-102izvestswsu-926Research ArticleИнформатика, вычислительная техника и управлениеComputer science, computer engineering and IT managmentЧебышёвский альтернанс при аппроксимации начальных условий обратной задачи КошиChebyshev Alternance when Approximating Initial Conditions of the Inverse Cauchy Problemhttps://orcid.org/0000-0003-1108-4185ЛоктионовА. П.LoktionovА. P.

Локтионов Аскольд Петрович, доктор технических наук, профессор кафедры электроснабжения

Researcher ID: P-5434-2015

ул. 50 лет Октября, д. 94, г. Курск 305040

Askold P. Loktionov, Dr. of Sci. (Engineering), Professor of the Department of Power Supply

50 Let Oktyabrya str. 94, Kursk 305040

loapa@mail.ruЮго-Западный государственный университетSouthwest State University20212901202225386102Copyright © Локтионов А.П., 20222022Локтионов А.П.Loktionov А.P.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvestswsu.elpub.ru/jour/article/view/926

Цель исследования. Работа посвящена кругу вопросов, относящихся к задаче Коши на отрезке действительной оси с приложением к исследованию обратной задачи Коши, в которой по эксперимен-тальным или табличным значениям решения дифференциального уравнения оптимально восстанавли-вают вещественные константы – начальные условия. В качестве объекта исследования выбрана информационно-измерительная система, в которой по дискретным значениям функции решения задачи Коши вычисляются приближенные значения начальных условий.Методы. Для этого решены следующие задачи: разработаны параметры размещения измерительного участка на исследуемом объекте и сетка аппроксимации на измерительном участке. Сформулированы характеристики точности восстановления начальных условий задачи.Результаты. Предложен экспериментально-расчетный метод определения начальных условий в обратной задаче Коши, основанный на понятии целевой функции регуляризации задачи. Также предложен параметр регуляризации задачи в виде минимального значения функцией Лебега.Заключение. В результате проведенных исследований рассмотрена реакция метода равномерного приближения начальных условий в обратной задаче Коши на отклонение координат узлов сетки аппроксимации от координат Чебышёвского альтернанса. Приведены графики реакции метода на отклонение шага сетки от оптимального шага.

Purpose of research. The work is devoted to a range of questions related to Cauchy problem on the segment of real axis with the application of the inverse Cauchy problem, in which real constants are initial conditions which are optimally restored according to experimental or tabular values of the solution of the differential equation. The object of the study is an information-measuring system, in which approximate values of initial conditions are calculated from discrete function values of Cauchy problem solving.Methods. The following problems are solved for this purpose: parameters of measuring section placement on the investigated object and approximation grid on measuring section are developed. Characteristics of recovery accuracy of initial conditions of the task are formulated.Results. An experimental-calculated method of determining initial conditions in the inverse Cauchy problem is proposed. It is based on the concept of objective function of regularization of the problem. Task regularization parameter in the form of minimum value by Lebesgue function is proposed.Conclusion. The reaction of uniformly approximating method of the initial conditions of the inverse Cauchy problem to the deviation of the approximation grid coordinates nodes from the coordinates of Chebyshev alternance was described. Graphs of method reaction to deviation of grid pitch from optimal pitch are given.

задача Кошиначальные условиячебышёвский альтернансинформационно-измерительная системаCauchy probleminitial conditionsChebyshev´s alternanceinformation and measurement systemReferencesЛоктионов А. П. Численное дифференцирование в модели измерений // Измерительная техника. 2019. № 8. С. 14-19. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-8-14-19.Loktionov A. P. Chislennoe differentsirovanie v modeli izmerenii [Numerical differentiation in the measurement model]. Izmeritel'naya texnika = Measurement Techniques, 2019, no. 8, pp. 14-19. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2019-8-14-19.Локтионов А.П., Максимов Ю.А., Титов В.С. О численном дифференцировании в обратной задаче Коши // Сварка и родственные технологии в машиностроении и электронике: сборник научных тр. Вып. 4. Курск, 2002. С. 263-268. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=21788616. (дата обращения: 20.04.2021).Loktionov A. P., Maksimov Yu.A., Titov V.S. [Numerical differentiation in the inverse Cauchy problem]. Svarka i rodstvennyye tekhnologii v mashinostroyenii i elektronike. Sbornik nauchnykh tr. Is. 4. Kursk, 2002, pp. 263-268. (In Russ.). Available at: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=21788616. (accessed 20.04.2021).Ahnert K., Abel M. Numerical differentiation of experimental data: local versus global methods // Computer Physics Communications. 2007. Vol. 177(10). P. 764-774. https://doi.org/10.1016/j.cpc.2007.03.009.Ahnert K., Abel M. Numerical differentiation of experimental data: local versus global methods. Computer Physics Communications. 2007, vol. 177(10), pp. 764-774. https://doi.org/10.1016/j.cpc.2007.03.009.Локтионов А. П. Структурная регуляризация подсистемы преобразовательного компонента преобразовательно-вычислительных систем. Курск, 2009. 323 с.Loktionov A. P. Strukturnaya regulyarizatsiya podsistemy preobrazovatel'nogo komponenta preobrazovatel'no-vychislitel'nykh sistem [Structural regularization of the subsystem of the converting component of converting computing systems]. Kursk, 2009.Stickel J.J. Data smoothing and numerical differentiation by a regularization method // Computers & Chemical Engineering. 2010. Vol. 34(4). P. 467-475. https:// doi:10.1016/j.compchemeng.2009.10.007.Stickel J.J. Data smoothing and numerical differentiation by a regularization method. Computers & Chemical Engineering, 2010, vol. 34(4), pp. 467-475. https://doi:10.1016/j.compchemeng.2009.10.007.Перельмутер А.В. Обратные задачи строительной механики // Вестник Томского государственного архитектурно-строительного университета. 2020. Т. 22(4). С. 83-101. https://doi.org/10.31675/1607-1859-2020-22-4-83-101.Perelmuter A.V. Obratnye zadachi stroitel'noi mekhaniki [Inverse problems of structural mechanics]. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo arxitekturno-stroitel`nogo universiteta = Vestnik of Tomsk State University of Architecture and Building. 2020, vol. 22(4), pp. 83-101. https://doi.org/10.31675/1607-1859-2020-22-4-83-101.Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория знаний, 2020.Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Chislennye metody [Numerical Methods]. Moscow, Laboratoriya-znanij Publ., 2020.Сирая Т. Н. Методы обработки данных при измерениях и метрологические модели // Измерительная техника. 2018. № 1. С. 9-14. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2018-1-9-14.Siraya T. N. Metody obrabotki dannykh pri izmereniyakh i metrologicheskie modeli [Methods of data processing in measurements and metrological models]. Izmeritel'naya texnika = Measurement Techniques. 2018, no. 1, pp. 9-14. https://doi.org/10.32446/0368-1025it.2018-1-9-14.Jang T.S., Han S.L. Numerical experiments on determination of spatially concentrated time-varying loads on a beam: an iterative regularization method // The Journal of Mechanical Science and Technology. 2009. Vol. 23(10). P. 2722-2729. URL: https://link.springer.com/article/10.1007/s12206-009-0735-3/. (дата обращения 20.04.2021).Jang T.S., Han S.L. Numerical experiments on determination of spatially concentrated time-varying loads on a beam: an iterative regularization method. The Journal of Mechanical Science and Technology, 2009, no. 23(10), pp. 2722-2729. Available at: https://link.springer.com/article/10.1007/s12206-009-0735-3. (accessed 20.04.2021).Danchenko V.I., Kondakova E.N. Chebyshev’s alternance in the approximation of constants by simple partial fractions // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2010. Vol. 270(1). P. 80–90. https://doi.org/10.1134/s0081543810030065.Danchenko V.I., Kondakova E.N. Chebyshev’s alternance in the approximation of constants by simple partial fractions. Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2010, no.270(1), pp. 80–90. https://doi.org/10.1134/s0081543810030065.Копит Т.А., Чуличков А.И., Устинин Д. М. Эмпирическое восстановление нечеткой модели эксперимента и редукция измерений в равномерной метрике // Вычислительные методы и программирование. 2011. Т. 12. С. 90-96. URL: http://nummeth.srcc.msu.ru/zhurnal/tom_2011/pdf/v12r111.pdf. (дата обращения 20.04.2021).Kopit T.A., Chulichkov A.I., Ustinin D. M. Empiricheskoe vosstanovlenie nechetkoi modeli eksperimenta i reduktsiya izmerenii v ravnomernoi metrike [Empirical reconstruction of a fuzzy model and the reduction of measurements in Euclidean metric]. Vychislitelnye-metody-i-programmirovanie = Numerical Methods and Programming, 2011, vol. 12, pp. 90-96. Available at: http://num-meth.srcc.msu.ru/zhurnal/tom_2011/pdf/v12r111.pdf. (accessed 20.04.2021).Cheney E.W., Kincaid D.R. Numerical Mathematics and Computing. Belmont. California. USA: Thomson Brooks/Cole; 2013.Cheney E.W., Kincaid D.R. Numerical Mathematics and Computing. Belmont. California. USA: Thomson Brooks/Cole; 2013.Chekushkin V.V., Mikheev K.V. Fast search algorithms for the best approximation polynomials for reproduction of functional dependences in data-measurement systems // Measurement Techniques. 2016. Vol. 59(4). P. 351-356. https://doi.org/10.1007/s11018-016-0970-9.Chekushkin V.V., Mikheev K.V. Fast search algorithms for the best approximation polynomials for reproduction of functional dependences in data-measurement systems. Measurement Techniques, 2016, vol. 59(4), pp. 351-356. https://doi.org/10.1007/s11018-016-0970-9.Korytov M.S., Shcherbakov V.S., Shershneva E.O., Breus I.V. Approximation methods for the actual trajectory of load carried by overhead crane to the required one – a comparative analysis // Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. 2016. Vol. 10(2). P. 45-56. URL: http://www.sscm.kg.ac.rs/jsscm/downloads/Vol10No2/Vol10No2_05.pdf. (дата обращения: 20.04.2021).Korytov M.S., Shcherbakov V.S., Shershneva E.O., Breus I.V. Approximation methods for the actual trajectory of load carried by overhead crane to the required one – a comparative analysis. Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. 2016, vol. 10(2), pp. 45-56. Available at: http://www.sscm.kg.ac.rs/jsscm/downloads/Vol10No2/Vol10No2_05.pdf. (accessed 20.04.2021).Loktionov A.P. A measuring system for determination of a cantilever beam support moment // Smart Structures Systems. 2017. Vol. 19(4). P. 431-439. https://doi.org/10.12989/sss.2017.19.4.431.Loktionov A.P. A measuring system for determination of a cantilever beam support moment. Smart Structures Systems. 2017, vol. 19(4), pp. 431-439. https://doi.org/10.12989/sss.2017.19.4.431.Verbrugge M.W., Wampler C.W., Baker D.R. Smoothing methods for numerical differentiation to identify electrochemical reactions from open-circuit-potential data // Journal of The Electrochemical Society. 2018. Vol. 165(16). P. A4000-A4011. https://doi.org/10.1149/2.0951816jes.Verbrugge M.W., Wampler C.W., Baker D.R. Smoothing methods for numerical differentiation to identify electrochemical reactions from open-circuit-potential data. Journal of The Electrochemical Society, 2018, vol. 165(16), pp. A4000-A4011. https://doi.org/10.1149/2.0951816jes.Кудрявцев К.Я. Алгоритм построения полинома наилучшего равномерного приближения по экспериментальным данным // Вестник национального исследовательского ядерного университета МИФИ. 2019. Т. 8(5). С. 480-486. https://doi.org/10.1134/S2304487X1905002X.Kudryavcev K.Ya. Algoritm postroeniya polinoma nailuchshego ravnomernogo priblizheniya po eksperimental'nym dannym [Algorithm for constructing a polynomial of the best uniform approximation from experimental data]. Vestnik nacional`nogo issledovatel`skogo yadernogo universiteta MIFI = Vestnik Natsional'nogo Issledovatel'skogo Yadernogo Universiteta "MIFI". 2019, vol. 8(5), pp. 480-486. https://doi.org/10.1134/S2304487X1905002X.Kalenchuk-Porkhanova A. Best Chebyshev approximation for compression of big information arrays // Proceedings of the 10th International Scientific and Practical Conference named after A. I. Kitov "Information Technologies and Mathematical Methods in Economics and Management (IT&MM-2020)". October 15-16, 2020. Moscow. Russia. P. 1-13. URL: http://sunsite.informatik.rwth-aachen.de/ftp/pub/publications/CEUR-WS/Vol-2830.zip. paper25.pdf. (дата обращения 20.04.2021).Kalenchuk-Porkhanova A. Best Chebyshev approximation for compression of big information arrays. Proceedings of the 10th International Scientific and Practical Conference named after A. I. Kitov "Information Technologies and Mathematical Methods in Economics and Management (IT&MM-2020)". October 15-16, 2020, Moscow. Russia. Available at: http://ceur-ws.org/Vol-2830/paper25.pdf. (accessed 20.04.2021).Панферов С.В., Панферов В.И. Численная аппроксимация конвективного граничного условия для сеток с подвижными узлами // Вестник ЮУрГУ. Серия «Энергетика». 2015. Т. 15. № 4. С. 13–18. https://doi.org/10.14529/power150402. URL: https://dspace.susu.ru/xmlui/bitstream/handle/0001.74/7282/2.pdf?sequence=1&isAllowed=.Panferov S.V., Panferov V.I. Chislennaya approksimatsiya konvektivnogo gra-nichnogo usloviya dlya setok s podvizhnymi uzlami [Numerical approximation of the convective boundary condition for grids with moving nodes]. Vestnik Yuzhno-Uralʹskogo Gosudarstvennogo Universiteta: Seria Energetika = Bulletin of the South Ural State University: Series Power Engineering, 2015, vol. 15(4), pp. 13–18. https://doi.org/10.14529/ power150402. Available at: https://dspace.susu.ru/xmlui/bitstream/handle/0001.74/7282/2.pdf?sequence=1&isAllowed=.Loktionov A.P. Improving the polynomial approximation of an object characteristic that is not directly measurable by using measurement reduction // Measurement Techniques. 2017. Vol. 59(10). P. 1042-1050. https://doi.org/10.1007/s11018-017-1089-3.Loktionov A.P. Improving the polynomial approximation of an object characteristic that is not directly measurable by using measurement reduction. Measurement Techniques. 2017, vol. 59(10), pp. 1042-1050. https://doi.org/10.1007/s11018-017-1089-3.Yang C. Sensor placement for structural health monitoring using hybrid optimization algorithm based on sensor distribution index and FE grids // Structural Control and Health Monitoring. 2018. Vol. 5(6). https://doi.org/0.1002/stc.2160.Yang C. Sensor placement for structural health monitoring using hybrid optimization algorithm based on sensor distribution index and FE grids. Structural Control and Health Monitorin, 2018, vol. 5(6). p.2160. https://doi.org/10.1002/stc.2160.Данилов М.Ф., Савельева А.А. Анализ исходных данных неустойчивых задач координатных измерений геометрических параметров деталей // Измерительная техника. 2018. № 6. С. 41-45. https://doi.org/10.32446/0368-1025it-2018-6-41-45.Danilov M.F.. Savelyeva A.A. Analiz iskhodnykh dannykh neustoichivykh zadach koordinatnykh izmerenii geometricheskikh parametrov detalei [Analysis of the initial data of unstable problems of coordinate measurements of geometric parameters of parts]. Izmeritel'naya texnika = Measurement Techniques, 2018, no. 6, pp. 41-45. https://doi.org/10.32446/0368-1025it-2018-6-41-45.Loktionov A.P. Information measuring system of numerical differentiation for the analysis of elements of mechanical structures // Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics. 2018. Vol. 12(2). P. 53-71. https://doi.org/10.24874/jsscm.2018.12.02.04.Loktionov A.P. Information measuring system of numerical differentiation for the analysis of elements of mechanical structures. Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics, 2018, vol. 12(2), pp. 53-71. https://doi.org/10.24874/jsscm.2018.12.02.04.Daili N., Guesmia A. Remez algorithm applied to the best uniform polynomial approximations // General Mathematics Notes. 2013. Vol. 17(1). P. 16-31. URL: http://emis.impa.br/EMIS/journals/GMN/volumes/vol_17_no_1_july_2013.html. (дата обращения 20.04.2021).Daili N., Guesmia A. Remez algorithm applied to the best uniform polynomial approximations. General Mathematics Notes, 2013, vol. 17(1), pp. 16-31. Available at: http://emis.impa.br/EMIS/journals/GMN/volumes/vol_17_no_1_july_2013.html. (accessed 20.04.2021).Hoang N.S. On node distributions for interpolation and spectral methods // arXiv: 1305.6104v1 [math.NA]. 27 May 2013. 2013. P. 1-18. Cornell University. URL: https://arxiv.org/abs/1305.6104v1. (дата обращения 20.04.2021).Hoang N.S. On node distributions for interpolation and spectral methods. ArXiv: 1305.6104v1 [math.NA]. 27 May 2013, 2013, pp.1-18. Cornell University. Available at: https://arxiv.org/abs/1305.6104v1. (accessed 20.04.2021).Ibrahimoglu B.A. Lebesgue functions and Lebesgue constants in polynomial interpolation // Journal of Inequalities and Applications. 2016:93. P. 1-15. https://doi.org/10.1186/s13660-016-1030-3.Ibrahimoglu B.A. Lebesgue functions and Lebesgue constants in polynomial interpolation. Journal of Inequalities and Applications, 2016, vol. 93, https://doi.org/10.1186/s13660-016-1030-3.Шакиров И.А. Полное исследование функций Лебега, соответствующих классическим интерполяционным полиномам Лагранжа // Известия вузов. Математика. Гос. номер статьи по НТЦ "Информрегистр" 0421100123109. 2011. №10. C. 80–88. URL: http://www.ksu.ru/journals/izv_vuz/. (дата обращения 20.04.2021).Shakirov I.A. Polnoe issledovanie funktsii Lebega, sootvetstvuyushchikh klassicheskim interpolyatsionnym polinomam Lagranzha [Complete investigation of Lebesgue functions corresponding to classical Lagrange interpolation polynomials]. Izvestiya-vuzovmatematika = Russian Mathematics (Iz. VUZ). gos-nomer-stati-po-ntts-informregistr0421100123\0109, 2011, no. 10, pp. 80-88. Available at: http://www.mathnet.ru/links/fe83b09ef6d61002e4f386c4ad5e6a19/ivm8104.pdf. (accessed 20.04.2021).Байдакова Н.В. Оценка снизу функции Лебега интерполяционного процесса алгебраическими многочленами по равномерным узлам симплекса // Математические заметки. 2012. Т. 92. № 1. C. 19-26. https://doi.org/10.4213/mzm8965. URL: http://www.mathnet.ru/links/b65d1e3cffe7d4a08483b370ed70849a/mzm8965.pdf.Baydakova N.V. Otsenka snizu funktsii Lebega interpolyatsionnogo protsessa algebraicheskimi mnogochlenami po ravnomernym uzlam simpleksa [Lower bound for the lebesgue function of an interpolation process with algebraic polynomials on equidistant nodes of a simplex]. Matematicheskite zametki = Mathematical Notes, 2012, vol. 92(1), pp. 19-26. https://doi.org/10.4213/mzm8965. Available at: http://www.mathnet.ru/links/b65d1e3cffe7d4a08483b370ed70849a/mzm8965.pdf.Лалин В.В., Беляев М.О. Изгиб геометрически нелинейного консольного стержня. Решение по теориям Кирхгофа и Коссера – Тимошенко // Инженерностроительный журнал. 2015. Т. 53. № 1. С. 39-55. https://doi.org/10.5862/MCE.53.5. URL: https://engstroy.spbstu.ru/userfiles/files/2015/1(53)/05.pdf.Lalin V.V.. Belyayev M.O. Izgib geometricheski nelineinogo konsol'nogo sterzhnya. Reshenie po teoriyam Kirkhgofa i Kossera – Timoshenko [Bending of geometrically nonlinear cantilever beam. Results obtained by Cosserat – Timoshenko and Kirchhoff’s rod theories]. Inzhenerno-stroitel`ny`j zhurnal = Magazine of Civil Engineering, 2015, vol. 53(1), pp. 39-55. https://doi.org/10.5862/MCE.53.5. Available at: https://engstroy.spbstu.ru/userfiles/files/ 2015/1(53)/05.pdf.Tusnina O.A., Danilov A.I. The stiffness of rigid joints of beam with hollow section column // Magazine of Civil Engineering. 2016. Vol. 64(4). Pp. 40–51. DOI: 10.5862/MCE.64.4. URL: https://engstroy.spbstu.ru/userfiles/files/2016/4(64)/04.pdf.Tusnina O.A., Danilov A.I. The stiffness of rigid joints of beam with hollow section column. Magazine of Civil Engineering, 2016, vol. 64(4), pp. 40-51. https://doi.org/10.5862/MCE.64.4. Available at: https://engstroy.spbstu.ru/userfiles/files/2016/4(64)/04.pdf.Tusnina V.M. Semi-rigid steel beam-to-column connections // Magazine of Civil Engineering. 2017. Vol. 73(5). Pp. 25-39. DOI: 10.18720/MCE.73.3. URL: https:// engstroy.spbstu.ru/userfiles/files/2017/5(73)/03.pdf (дата обращения 20.04.2021).Tusnina V.M. Semi-rigid steel beam-to-column connections. Magazine of Civil Engineering. 2017, vol. 73(5), pp. 25-39. https://doi.org/10.18720/MCE.73.3. Available at: https://engstroy.spbstu.ru/userfiles/files/2017/5(73)/03.pdf.Кашеварова Г.Г., Тонков Ю.Л., Тонков И.Л. Интеллектуальная автоматизация инженерного обследования строительных объектов // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2017. Vol. 13(3). Pp. 42–57. https://doi.org/10.22337/1524-5845-2017-13-3-42-57.Kashevarova G. G., Tonkov, Y. L., Tonkov I.L. Intellektual'naya avtomatizatsiya inzhenernogo obsledovaniya stroitel'nykh ob"ektov [Intellectual automation of engineering survey of building objects. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering, 2017, vol. 13(3), pp. 42-57. https://doi.org/10.22337/1524-5845-2017-13-3-42-57.A wireless passive sensing system for displacement/strain measurement in reinforced concrete members / B. Ozbey, V.B. Erturk, H.V. Demir, A. Altintas, O.A. Kurc // Sensors. 2016. Vol. 16(4). Pp. 1-14. https://doi.org/10.3390/s16040496.Ozbey B., Erturk V.B., Demir H.V., Altintas A., Kurc O.A. A wireless passive sensing system for displacement/strain measurement in reinforced concrete members. Sensors. 2016, vol. 16(4), pp. 1-14. https://doi.org/10.3390/s16040496.Building structural health monitoring using dense and sparse topology wireless sensor network / M.E. Haque, M.F.M. Zain, M.A. Hannan, M.H. Rahman // Smart Structures and Systems. 2015. Vol. 16(4). Pp. 607-621. https://doi.org/10.12989/sss.2015.16.4.623.Haque M.E., Zain M.F.M., Hannan M.A., Rahman M.H. Building structural health monitoring using dense and sparse topology wireless sensor network. Smart Structures and Systems. 2015, vol. 16(4), pp. 607-621. https://doi.org/10.12989/sss.2015.16.4.623.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.