izvestswsuИзвестия Юго-Западного государственного университетаProceedings of the Southwest State University2223-15602686-6757ЮЗГУ10.21869/2223-1560-2021-25-2-83-92izvestswsu-883Research ArticleИнформатика, вычислительная техника и управлениеComputer science, computer engineering and IT managmentО двухчастотных колебаниях электропривода постоянного тока с импульсным управлениемOn Two-Frequency Oscillations of a DC Electric Drive with Pulse ControlЯночкинаО. О.YanochkinaO. O.

Яночкина Ольга Олеговна, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники 

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040

Olga О. Yanochkina, Cand. of Sci. (Engineering), Associate Professor, Department of Computer Science 

50 Let Oktyabrya str. 94, Kursk 305040

yanoolga@gmail.comЮго-Западный государственный университетSouthwest State University2021190820212528392Copyright © Яночкина О.О., 20212021Яночкина О.О.Yanochkina O.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvestswsu.elpub.ru/jour/article/view/883

Цель исследования. Анализ бифуркаций двухчастотных колебаний электропривода постоянного тока с широтно-импульсным управлением.Методы. Исследования основаны на построении стробоскопического отображения Пуанкаре, расчете седловых периодических орбит и их устойчивых и неустойчивых инвариантных многообразий.Результаты. Выполнено исследование механизмов возникновения двухчастотных колебаний из теряющего устойчивость периодического движения в электроприводе постоянного тока с широтно-импульсным управлением. Изучена нелокальная седло-узловая бифуркация, приводящая к резонансу (синхронизации) на торе, характеризуемом парой независимых частот, когда их отношение становится рациональным числом.Заключение. Проведен бифуркационный анализ системы управления электроприводом постоянного тока, динамика которой описывается негладкими неавтономными дифференциальными уравнениями. Исследования проводились на итерируемом отображении, полученном из указанного векторного поля в аналитическом виде. Показано, что рассматриваемая система демонстрирует двухчастотные колебания, которые возникают через бифуркацию Неймарка-Саккера. В фазовом пространстве дискретной модели колебаниям с двумя независимыми частотами соответствует замкнутая инвариантная кривая. Показано, что если эти частоты соотносятся кратно, то происходит резонанс, когда динамика становится периодической. Но при этом замкнутая кривая остается инвариантной, а предельные точки орбиты образуют пару периодических циклов – устойчивый и седловой, отвечающих рациональному отношению частот. Замкнутая инвариантная кривая образована неустойчивыми многообразиями седлового цикла. Если же отношение частот иррациональное, то динамика квазипериодическая. Орбиты такого движения всюду плотно заполняют замкнутую кривую.

Purpose of research is of the paper is to analyze bifurcations of two-frequency oscillations of a DC electric drive with pulse-width control.Methods. The research is based on the construction of a stroboscopic Poincare map, the calculation of saddle periodic orbits and their stable and unstable invariant manifolds.Results. The study of the mechanisms of the occurrence of two-frequency oscillations from a periodic motion that loses stability in a DC electric drive with pulse-width control was carried out. A non-local saddle-node bifurcation leading to resonance (synchronization) on a torus characterized by a pair of independent frequencies when their ratio becomes a rational number, was studied.Conclusion. A bifurcation analysis of the control system of a DC electric drive, the dynamics of which is described by non-smooth nonautonomous differential equations, was carried out. The research was conducted on an iterable map obtained from the specified vector field in an analytical form. It is shown that the system under consideration demonstrates two-frequency oscillations that occur through the Neimark-Sacker bifurcation. In the phase space of the discrete model, a closed invariant curve corresponds to oscillations with two independent frequencies. It is shown that if these frequencies are correlated multiply, then a resonance occurs when the dynamics becomes periodic. But at the same time, the closed curve remains invariant, and the limit points of the orbit form a pair of periodic cycles – stable and saddle, corresponding to a rational frequency ratio. A closed invariant curve is formed by unstable manifolds of a saddle cycle. If the frequency ratio is irrational, then the dynamics is quasi-periodic. The orbits of such motion fill the closed curve everywhere densely.

система управления электроприводомбифуркация Неймарка-Сакеразамкнутая инвариантная криваядвухчастотные колебаниядифференциальные уравнения с разрывной правой частьюelectric drive control systemNeimark-Sacker bifurcationclosed invariant curvetwo-frequency oscillationsdifferential equations with discontinuous right-hand sideРабота выполнена под руководством д-ра техн. наук, профессора, профессора кафедры вычислительной техники ФГБОУ ВО «Юго-Западный государственный университет» Ж.Т. ЖусубалиеваThe work was carried out under the guidance of Doctor of Sciences (Engineering), Professor of the Department of Computer Engineering of the Southwest State University Zhusubaliev Zh. T.ReferencesAlligood K.T., Sauer T.D., Yorke J. A. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. New York: Springer, 2000. https://doi.org/10.1007/b97589Alligood K.T., Sauer T.D., Yorke J. A. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. New York, Springer, 2000. https://doi.org/10.1007/b97589Parker T. S., Chua L.O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Berlin: Springer-Verlag, 1989. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9Parker T. S., Chua L.O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Berlin, Springer-Verlag, 1989. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9Strogatz S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 2nd ed. Boulder: Westview Press, 2015. https://doi.org/10.1063/PT.3.2751Strogatz S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 2nd ed. Boulder, Westview Press, 2015. https://doi.org/10.1063/PT.3.2751Palis J., De Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems. New York, Berlin: Springer-Verlag, 1982. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5703-5Palis J., De Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems. New York, Berlin, Springer-Verlag, 1982. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5703-5Argyris J., Faust G., Haase M., Friederich R. An Exploration of Dynamical Systems and Chaos. New York: Springer, 2015. https://doi.org/10.1007/978-3-662-46042-9.Argyris J., Faust G., Haase M., Friederich R. An Exploration of Dynamical Systems and Chaos. New York, Springer, 2015. https://doi.org/10.1007/978-3-662-46042-9.Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science. New York: Cambridge University Press, 2001. https://doi.org/10.1017/CBO9780511755743Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. Synchronization: A Universal Concept in Nonlinear Science. New York, Cambridge University Press, 2001. https://doi.org/10.1017/CBO9780511755743Kuznetsov Yu. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York: Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7Kuznetsov Yu. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York, Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7Aronson D. G., Chory M. A., Hall G. R., McGehee R.P. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: A computer-assisted study // Comm. Math. Physics. 1982. Vol. 83. № 3. P. 303–354. https://doi.org/10.1007/BF01213607.Aronson D. G., Chory M. A., Hall G. R., McGehee R.P. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane: A computer-assisted study. Comm. Math. Physics, 1982, vol. 83, no. 3, pp. 303–354. https://doi.org/10.1007/BF01213607.Agliari A., Bischi G.-I., Dieci R., Gardini L. Global bifurcations of closed invariant curves in two-dimensional maps: A computer assisted study // Int. J. Bifurcation Chaos. 2005. Vol. 15. № 4. Р. 1285–1328, https://doi.org/10.1142/S0218127405012685Agliari A., Bischi G.-I., Dieci R., Gardini L. Global bifurcations of closed invariant curves in two-dimensional maps: A computer assisted study. Int. J. Bifurcation Chaos, 2005, vol. 15, no.4, pp. 1285–1328. https://doi.org/10.1142/S0218127405012685Sushko I., Gardini L. Center Bifurcation for a Two-Dimensional border-Collision Normal Form // Int. J. Bifurcation Chaos. 2008. Vol. 18. № 4. P. 1029–1050. https://doi.org/10.1142/S0218127408020823Sushko I., Gardini L. Center Bifurcation for a Two-Dimensional border-Collision Normal Form. Int. J. Bifurcation Chaos, 2008, vol. 18, no. 4, pp. 1029–1050. https://doi.org/10.1142/S0218127408020823Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in a DC/DC converter // IEEE Trans. Circ. & Sys. I. 2006. Vol. 53. № 8. P. 1839–1850. https://doi.org/10.1109/TCSI.2006.879060Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in a DC/DC converter. IEEE Trans. Circ. & Sys. I, 2006, vol. 53, no. 8, pp. 1839–1850. https://doi.org/10.1109/TCSI.2006.879060Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems // Physica D. 2008. Vol. 237. № 7. P. 930 – 936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems. Physica D, 2008, vol. 237, no. 7, pp. 930 – 936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems // Physics Letters A. 2008. Vol. 372. №13. P. 2237– 2246. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.08.077Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems. Physics Letters A, 2008, vol. 372, no. 13, pp. 2237– 2246. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.08.077Zhusubaliyev Zh. T., Soukhoterin E., Mosekilde E. Quasiperiodicity and torus breakdown in a power electronic DC/DC converter // Mathematics and Computers in Simulation. 2007. Vol. 73. № 6. P. 364–377. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2006.06.021Zhusubaliyev Zh. T., Soukhoterin E., Mosekilde E. Quasiperiodicity and torus breakdown in a power electronic DC/DC converter. Mathematics and Computers in Simulation, 2007, vol. 73, no. 6, pp. 364–377. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2006.06.021Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yanochkina O.O., Torus bifurcations in multilevel converter systems // Int. J. Bifurcation Chaos. 2011. Vol. 21. № 8. P. 2343-2356. https://doi.org/10.1142/S0218127411029835Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yanochkina O.O. Torus bifurcations in multilevel converter systems. Int. J. Bifurcation Chaos, 2011, vol. 21, no. 8, pp. 2343-2356. https://doi.org/10.1142/S0218127411029835Яночкина О.О., Болдырева Е.О. Устойчивость колебаний импульсной системы управления электроприводом // Известия Юго-Западного государственного университета. 2020; 24(3): 152-165. https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-152-165.Yanochkina О. О., Boldyreva Е. О. Ustoichivost' kolebanii impul'snoi sistemy upravleniya elektroprivodom [Vibration Stability of the Impulse System of the Electric Drive Control]. Izvestiya Yugo-Zapadnogo gosudarstvennogo universiteta = Proceedings of the Southwest State University. 2020; 24(3): 152-165 (In Russ.). https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-152-165.Xаотическая динамика импульсных систем / Ж. Т. Жусубалиев, В. Г. Рубанов, В. С. Титов, О. О. Яночкина. Белгород: Изд-во БГТУ, 2018.Zhusubaliyev Zh. T., Rubanov V. G., Titov V. S., Yanochkina O. O. Xaoticheskaya dinamika impul'snykh sistem [Chaotic dynamics of impulse systems]. Belgorod, BGTU Publ., 2018 (In Russ.).Яночкина О.О., Чернецкая И.Е., Жусубалиев Ж.Т. Мультистабильность и квазипериодичность в системе управления барабанным окомкователем // Системы управления и информационные технологии. 2009. № 3 (37). C. 58-63.Yanochkina O.O., Chernetskaya I.E., Zhusubaliyev Zh.T. Mul'tistabil'nost' i kvaziperiodichnost' v sisteme upravleniya barabannym okomkovatelem. [Multistability and quasiperiodicity in the pelletizing drum control system]. Sistemy upravleniya i informacionnye tekhnologii, 2009, no. 3 (37), pp. 58-63 (In Russ.).Электропривод с многозонным импульсным управлением для окомкователя сыпучих материалов / Ж.Т. Жусубалиев, В.С. Титов, И.Е. Чернецкая, О.О. Яночкина // Электротехнические комплексы и системы управления. 2010. № 2. C. 45-50.Zhusubaliyev Z.T., Titov V.S., Chernetskaya I.E., Yanochkina O.O. Elektroprivod s mnogozonnym impul'snym upravleniem dlya okomkovatelya sypuchikh materialov [Electric drive with a multilevel pulse modulated control for pelletizing free-flowing materials]. Elektrotekhnicheskie kompleksy i sistemy upravleniya = Elektrotechnical Systems and Complexes, 2010, no. 2, pp. 45-50 (In Russ.).Свидетельство о регистрации программы для ЭВМ 2017661000 Российская Федерация. Программа расчета инвариантных многообразий седловых циклов двумерных обратимых кусочно-гладких отображений / Ж.Т. Жусубалиев, В.Г. Рубанов, Ю.А. Гольцов, О.О. Яночкина; заявитель и правообладатель Белгородский технологический университет им. В.Г. Шухова. №2017617817; заявл. 03.08.2017; опубл. 02.10.2017. 1 с.Zhusubaliev Zh. T., Rubanov V. G., Goltsov Yu. A., Yanochkina O. O. Programma rascheta invariantnykh mnogoobrazii sedlovykh tsiklov dvu-mernykh obratimykh kusochnogladkikh otobrazhenii [Program for calculating invariant varieties of saddle cycles of twodimensional invertible piecewise smooth maps]. Certificate of registration of the computer program 2017661000 Russian Federation. No. 2017617817 (In Russ.).Жусубалиев Ж.Т., Рубанов В.Г., Гольцов Ю.А. К расчету инвариантных многообразий кусочно-гладких отображений // Известия Юго-Западного государственного университета. 2020; 24(3): 166-182. https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-166-182.Zhusubaliyev Zh.T., Rubanov V.G., Gol'tsov Yu.A. K raschetu invariantnykh mnogoobrazii kusochno-gladkikh otobrazhenii [Calculation of Invariant Manifolds of PiecewiseSmooth Maps]. Izvestiya Yugo-Zapadnogo gosudarstvennogo universiteta = Proceedings of the Southwest State University. 2020; 24(3): 166-182. https://doi.org/10.21869/2223-1560-2020-24-3-166-182 (In Russ.).

The authors declare that there are no conflicts of interest present.