izvestswsuИзвестия Юго-Западного государственного университетаProceedings of the Southwest State University2223-15602686-6757ЮЗГУ10.21869/2223-1560-2020-24-3-166-182izvestswsu-800Research ArticleИнформатика, вычислительная техника и управлениеComputer science, computer engineering and IT managmentК расчету инвариантных многообразий кусочно-гладких отображенийCalculation of Invariant Manifolds of Piecewise-Smooth Mapshttps://orcid.org/0000-0001-5534-9902ЖусубалиевЖ. Т.ZhusubaliyevZ. T.

Жусубалиев Жаныбай Турсунбаевич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры  вычислительной техники

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040

Zhanybai T. Zhusubaliyev, Dr. of Sci. (Engineering), Professor, Department of Computer Science

50 Let Oktyabrya str. 94, Kursk 305040

zhanybai@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-1795-2708РубановВ. Г.RubanovV. G.

Рубанов Василий Григорьевич, доктор технических наук, профессор, завкафедрой технической кибернетики

ул. Костюкова 46, г. Белгород 308012

Vasiliy G. Rubanov, Dr. of Sci. (Engineering), Professor, Department of Engineering Cybernetics

Kostyukov str. 46, Belgorod 308012

vgrubanov@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0002-6065-8985ГольцовЮ. А.Gol’tsovYu. A.

Гольцов Юрий Александрович, старший преподаватель кафедры технической кибернетики

ул. Костюкова 46, г. Белгород 308012

Yuriy A. Gol’tsov, Senior Lecturer, Department of Engineering Cybernetics

Kostyukov str. 46, Belgorod 308012

uagoltsov@gmail.comЮго-Западный государственный университетSouthwest State UniversityБелгородский государственный технологический университет им. В.Г. ШуховаBelgorod State Technological University202006122020243166182Copyright © Жусубалиев Ж.Т., Рубанов В.Г., Гольцов Ю.А., 20202020Жусубалиев Ж.Т., Рубанов В.Г., Гольцов Ю.А.Zhusubaliyev Z.T., Rubanov V.G., Gol’tsov Y.A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvestswsu.elpub.ru/jour/article/view/800

Целью исследования является разработка алгоритма расчета устойчивых инвариантных многообразий седловых периодических орбит кусочно-гладких отображений. Метод базируется на итерировании фундаментальной области вдоль устойчивого подпространства собственных векторов матрицы Якоби, вычисленной в седловой периодической неподвижной точке. Результаты. Разработан метод расчета устойчивых инвариантных многообразий седловых периодических орбит кусочно-гладких отображений. Основной результат сформулирован в виде утверждения. Основу метода составляет оригинальный подход нахождения обратной функции, идея которого состоит в сведении задачи к нелинейному уравнению первого порядка. Заключение. Описан численный метод расчета устойчивых инвариантных многообразий кусочно-гладких отображений, моделирующих импульсные системы автоматического управления. Метод базируется на итерировании фундаментальной области вдоль устойчивого подпространства собственных векторов матрицы Якоби, вычисленной в седловой периодической неподвижной точке. Основу метода составляет оригинальный подход нахождения обратной функции, который состоит в сведении задачи к решению нелинейного уравнения первого порядка. Такой подход исключает необходимость решения систем нелинейных уравнений для определения обратной функции и преодоления сопутствующих при этом вычислительных проблем. Приведены примеры исследования глобальной динамики кусочно-гладких отображений с мультистабильным поведением.

Purpose of reseach is of the work is to develop an algorithm for calculating stable invariant manifolds of saddle periodic orbits of piecewise smooth maps. Method is based on iterating the fundamental domain along a stable subspace of eigenvectors of the Jacobi matrix calculated at a saddle periodic fixed point. Results. A method for calculating stable invariant manifolds of saddle periodic orbits of piecewise smooth maps is developed. The main result is formulated as a statement. The method is based on an original approach to finding the inverse function, the idea of which is to reduce the problem to a nonlinear first-order equation. Conclusion. A numerical method is described for calculating stable invariant manifolds of piecewise smooth maps that simulate impulse automatic control systems. The method is based on iterating the fundamental domain along a stable subspace of eigenvectors of the Jacobi matrix calculated at a saddle periodic fixed point. The method is based on an original approach to finding the inverse function, which consists in reducing the problem to solving a nonlinear first-order equation. This approach eliminates the need to solve systems of nonlinear equations to determine the inverse function and overcome the accompanying computational problems. Examples of studying the global dynamics of piecewise-smooth mappings with multistable behavior are given.

кусочно-гладкое отображениеинвариантные многообразия седловой периодической орбитыгомоклинический контактзамкнутая инвариантная кривая«final» бифуркациябифуркация Неймарка-Сакераквазипериодические колебанияpiecewise smooth mapinvariant manifolds of the saddle periodic orbithomoclinic contactclosed invariant curve"final" bifurcationNeimark-Sacker bifurcationquasiperiodic oscillationsРубанов В.Г. поддержан грантом: Договор 03/19 от 03.03.2019 г. в рамках Соглашения № 075-11-2019-070 от 29.11.2019 (уникальный номер 07519SU2000000).Rubanov V.G. supported by the grant: Agreement 03/19 dated 03.03.2019 under the Agreement No. 075-11-2019-070 dated 29.11.2019 (unique number 07519SU2000000).ReferencesFeudel U. Complex dynamics in multistable systems // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2008; 18(6): 1607–1626. https://doi.org/10.1142/S0218127408021233Feudel U. Complex dynamics in multistable systems. Int. J. Bifurcation and Chaos, 2008, no. 18(6), pp. 1607–1626. https://doi.org/10.1142/S0218127408021233Feudel U., Pisarchik A., Showalter K. Multistability and tipping: From mathematics and physics to climate and brain – Minireview and preface to the focus issue // Chaos. 2018. №28(3). 033501 р. https://doi.org/10.1063/1.5027718Feudel U., Pisarchik A., Showalter K. Multistability and tipping: From mathematics and physics to climate and brain – Minireview and preface to the focus issue. Chaos, 2018, no. 28(3), 033501 p. https://doi.org/10.1063/1.5027718Pisarchik A., Feudel, U. Control of multistability // Phys. Rep. 2014. №540(4). Р. 167–218. https://doi.org/10.1016/j.physrep.2014.02.007Pisarchik A., Feudel U. Control of multistability. Phys. Rep, 2014, no. 540(4), pp. 167–218. https://doi.org/10.1016/j.physrep.2014.02.007Hens C., Dana S., Feudel U. Extreme multistability: Attractor manipulation and robustness // Chaos. 2015. № 25(10). Р. 053112. https://doi.org/10.1063/1.4921351Hens C., Dana S., Feudel U. Extreme multistability: Attractor manipulation and robustness. Chaos, 2015, no. 25(10), pp. 053112. https://doi.org/10.1063/1.4921351Prengel F., Wacker A., Schёoll E. Simple model for multistability and domain formation in semiconductor superlattices // Phys. Rev. 1994. № 50. Р. 1705–1712. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.50.1705Prengel F., Wacker A., Schёoll E. Simple model for multistability and domain formation in semiconductor superlattices. Phys. Rev., 1994, no. 50, pp. 1705–1712. https://doi.org/10.1103/PhysRevB.50.1705Liu Y., Chavez J. P. Controlling coexisting attractors of an impacting system via linear augmentation // Physica D. 2017. № 348. Р. 1–11. https://doi.org/10.1016/j.physd.2017.02.018Liu Y., Chavez J. P. Controlling coexisting attractors of an impacting system via linear augmentation. Physica D., 2017, no. 348, pp. 1–11. https://doi.org/10.1016/j.physd.2017.02.018Marmillot P., Kaufman M., Hervagault J-F. Multiple steady states and dissipative structures in a circular and linear array of three cells: Numerical and experimental approaches // J. Chem. Phys. 1991. № 95(2). Р. 1206–1214. https://doi.org/10.1063/1.461151Marmillot P., Kaufman M., Hervagault J-F. Multiple steady states and dissipative structures in a circular and linear array of three cells: Numerical and experimental approaches. J. Chem. Phys., 1991, no. 95(2), pp. 1206–1214. https://doi.org/10.1063/1.461151Kuznetsov Y. Elements of Applied Bifurcation Theory, 3rd edition. Springer-Verlag, 2004. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7Kuznetsov Y. Elements of Applied Bifurcation Theory, 3rd edition. Springer-Verlag, 2004. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7Chaotic Dynamics in Two-Dimensional Noninvertible Maps / C. Mira, L. Gardini, A. Barugola, J.C. Cathala // World Scientific Publishing, Singapore. 1996. 632 p. https://doi.org/10.1142/2252Mira C., Gardini L., Barugola A., Cathala J.C. Chaotic Dynamics in TwoDimensional Noninvertible Maps. World Scientific Publishing, Singapore, 1996, 632 p. https://doi.org/10.1142/2252On some properties of invariant sets of two-dimensional noninvertible maps / C. E. Frouzakis, L. Gardini, I. G. Kevrekidis, G. Millerioux, C. Mira // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. № 7(06). Р. 1167–1194. https://doi.org/10.1142/S0218127497000613Frouzakis C. E., Gardini L., Kevrekidis I. G., Millerioux G., Mira C. On some properties of invariant sets of two-dimensional noninvertible maps. Int. J. Bifurcation and Chaos, 1997, no. 7(06), pp. 1167–1194. https://doi.org/10.1142/S0218127497000613Parker T. S., Chua L. O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Springer-Verlag, New York, 1989. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9Parker T. S., Chua L. O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Springer-Verlag, New York, 1989. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9Nusse H. E., Yorke J. A. A procedure for finding numerical trajectories in chaotic saddles // Physica D. 1989. № 36(1-2). Р. 137–156. https://doi.org/10.1016/0167-2789(89)90253-4Nusse H. E., Yorke J. A. A procedure for finding numerical trajectories in chaotic saddles. Physica D., 1989, no. 36(1-2), pp. 137–156. https://doi.org/10.1016/0167-2789(89)90253-4You Z., Kostelich E. J., Yorke J. A. Calculating stable and unstable manifolds // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1991. № 01(03). Р. 605–623. https://doi.org/10.1142/S0218127491000440You Z., Kostelich E. J., Yorke J. A. Calculating stable and unstable manifolds. Int. J. Bifurcation and Chaos, 1991, no. 01(03), pp. 605–623. https://doi.org/10.1142/S0218127491000440England J.P., Krauskopf B., Osinga H.M. Computing one-dimensional stable manifolds and stable sets of planar maps without the inverse // SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 2004. №3(2). Р. 161–190. https://doi.org/10.1137/030600131England J.P., Krauskopf B., Osinga H.M. Computing one-dimensional stable manifolds and stable sets of planar maps without the inverse. SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 2004, no. 3(2), p. 161–190. https://doi.org/10.1137/030600131A survey of methods for computing (un)stable manifolds of vector fields / B. Krauskopf, H.M. Osinga, E.J. Doedel, M.E. Henderson, J. Guckenheimer, A. Vladimirsky, M. Dellnitz, O. Junge // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2005. № 15(03). Р. 763–791. https://doi.org/10.1142/S0218127405012533Krauskopf B., Osinga H.M., Doedel E.J., Henderson M.E., Guckenheimer J., Vladimirsky A., Dellnitz M., Junge O. A survey of methods for computing (un)stable manifolds of vector fields. Int. J. Bifurcation and Chaos, 2005, no. 15(03), pp. 763–791. https://doi.org/10.1142/S0218127405012533Fundinger D. Toward the calculation of higher-dimensional stable manifolds and stable sets for noninvertible and piecewise-smooth maps // J. Nonlinear Sci. 2008. № 18. Р. 391–413. https://doi.org/10.1007/s00332-007-9016-4Fundinger D. Toward the calculation of higher-dimensional stable manifolds and stable sets for noninvertible and piecewise-smooth maps. J. Nonlinear Sci., 2008, no. 18, pp. 391–413. https://doi.org/10.1007/s00332-007-9016-4Li H., Fan Y., Zhang J. A new algorithm for computing one-dimensional stable and unstable manifolds of maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. Vol. 2012. № 22(01). Р. 1250018. https://doi.org/10.1142/S0218127412500186Li. H., Fan Y., Zhang J. A new algorithm for computing one-dimensional stable and unstable manifolds of maps. Int. J. Bifurcation and Chaos, 2012, no. 22(01), 1250018 p. https://doi.org/10.1142/S0218127412500186Invariant manifolds and global bifurcations / J. Guckenheimer, B. Krauskopf, H. M. Osinga, B. B. Sandstede // Chaos. 2015. № 25(9). Р. 097604. https://doi.org/10.1063/1.4915528Guckenheimer J., Krauskopf B., Osinga H. M., B. Sandstede B. Invariant manifolds and global bifurcations. Chaos, 2015, no. 25(9), 097604 p. https://doi.org/10.1063/1.4915528Yue X-L., Xu Y, Xu W., Sun J-Q. Global Invariant manifolds of dynamical systems with the compatible cell mapping method // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2019. № 29(8). Р. 1950105. https://doi.org/10.1142/S0218127419501050Yue X-L., Xu Y, Xu W., Sun J-Q. Global Invariant manifolds of dynamical systems with the compatible cell mapping method. Int. J. Bifurcation and Chaos, 2019, no. 29(8), 1950105 p. https://doi.org/10.1142/S0218127419501050Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2008. № 237(7). Р. 930-936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. World Scientific, Singapore, 2003.Simpson D.J.W. The structure of mode-locking regions of piecewise-linear continuous maps: I. Nearby mode-locking regions and shrinking points // Nonlinearity. 2016. № 30(1). Р. 382–444. https://doi.org/10.1088/1361-6544/aa4f49Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems. Physica D: Nonlinear Phenomena, 2008, no. 237(7), pp. 930-936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. World Scientific, Singapore, 2003.Simpson D.J.W. The structure of mode-locking regions of piecewise-linear continuous maps: I. Nearby mode-locking regions and shrinking points. Nonlinearity, 2016, no. 30(1), pp. 382–444. https://doi.org/10.1088/1361-6544/aa4f49Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems // Physics Letters A. 2008. № 372(13). Р. 2237–2246. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.08.077Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems. Physics Letters A., 2008, no. 372(13), pp. 2237–2246. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.08.077Baushev V. S., Zhusubaliyev Zh. T. Indeterminable states of a voltage regulator with pulse-width control // Elect. Techn. 1992. № 3. Р. 85-98.Baushev V. S., Zhusubaliyev Zh. T. Indeterminable states of a voltage regulator with pulse-width control. Elect. Techn., 1992, no. 3, pp. 85-98.Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., De S., Banerjee S. Transitions from phaselocked dynamics to chaos in a piecewise-linear map // Physical Review E. 2008. № 77. Р. 026206. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.77.026206Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., De S., Banerjee S. Transitions from phaselocked dynamics to chaos in a piecewise-linear map. Physical Review E, 2008, no. 77, 026206 p. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.77.026206De S., Dutta P.S., Banerjee S. Torus destruction in a nonsmooth noninvertible map // Physics Letters A. 2012. № 376. Р. 400-406. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2011.11.017De S., Dutta P.S., Banerjee S. Torus destruction in a nonsmooth noninvertible map. Physics Letters A., 2012, no. 376, pp. 400-406. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2011.11.017Аvrutin V., Zhusubaliyev Zh. T. Nested closed invariant curves in piecewise smooth maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2019. № 29(7). Р. 1930017. https://doi.org/10.1142/S0218127419300179Аvrutin V., Zhusubaliyev Zh. T. Nested closed invariant curves in piecewise smooth maps. Int. J. Bifurcation and Chaos, 2019, no. 29(7), 1930017 p. https://doi.org/10.1142/S0218127419300179.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.