izvestswsuИзвестия Юго-Западного государственного университетаProceedings of the Southwest State University2223-15602686-6757ЮЗГУ10.21869/2223-1560-2020-24-3-152-165izvestswsu-799Research ArticleИнформатика, вычислительная техника и управлениеComputer science, computer engineering and IT managmentУстойчивость колебаний импульсной системы управления электроприводомVibration Stability of the Impulse System of the Electric Drive ControlЯночкинаО. О.YanochkinaO. O.

Яночкина Ольга Олеговна, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040

Olga O. Yanochkina, Cand. of Sci. (Engineering), Associate Professor, Department of Computer Science

50 Let Oktyabrya str. 94, Kursk 305040

yanoolga@gmail.comБолдыреваЕ. О.BoldyrevaE. O.

Болдырева Евгения Олеговна, студент кафедры вычислительной техники

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040

Eugenia O. Boldyreva, Student

50 Let Oktyabrya str. 94, Kursk 305040

eugeniaboldyreva@yandex.ruЮго-Западный государственный университетSouthwest State University202006122020243152165Copyright © Яночкина О.О., Болдырева Е.О., 20202020Яночкина О.О., Болдырева Е.О.Yanochkina O.O., Boldyreva E.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvestswsu.elpub.ru/jour/article/view/799

Цель исследования. Исследование устойчивости колебаний импульсной системы управления электроприводом постоянного тока с целью обеспечения рабочих режимов с заданными динамическими характеристиками. Методы. Анализ устойчивости периодических решений дифференциальных уравнений с разрывной правой частью сводится к задаче исследования локальной устойчивости неподвижных точек отображения. Результаты. Проведен анализ устойчивости в зависимости от напряжения питания электропривода и коэффициента усиления корректирующего звена в цепи обратной связи. Выявлено, что граница области устойчивости на плоскости варьируемых параметров имеет ярко выраженный экстремум в виде максимума в бифуркационной точке коразмерности два, называемой еще точкой резонанса 1:2. По одну сторону от этой точки область устойчивости ограничена линией бифуркации Неймарка-Сакера, а по другую – линией бифуркации удвоения периода. Это означает, что с изменением параметров радиус области устойчивости сначала растет, достигая максимума в точке резонанса 1:2, а затем уменьшается. Этот важный вывод можно использовать в оптимизационных расчетах. Заключение. Выполнен анализ устойчивости импульсной системы управления электроприводом постоянного тока, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями разрывной правой частью. Задача поиска периодических решений дифференциальных уравнений сведена к задаче поиска неподвижных точек отображения. Неподвижные точки отображения удовлетворяют системе нелинейных уравнений, которая решалась численно методом Ньютона-Рафсона. Устойчивость периодических решений дифференциальных уравнений отвечает устойчивости неподвижных точек соответствующего отображения. Исследования проводились при вариации коэффициента усиления в цепи обратной связи и напряжения питания. Выявлено, что потеря неподвижной точки происходит через суперкритическую бифуркацию Неймарка-Сакера, когда при изменении параметров комплексно-сопряженная пара мультипликаторов выходит из единичного круга. Однако при увеличении напряжения питания граница бифуркации Неймарка-Сакера переходит в границу бифуркации удвоения периода в точке резонанса 1:2.

Purpose of reseach is Study of vibration stability of the impulse system of direct current electric drive in order to ensure operating modes with specified dynamic characteristics. Methods. The stability analysis of periodic solutions of differential equations with discontinuous right-hand side is reduced to the problem of studying local stability of fixed map points. Results. The analysis of stability is carried out depending on the supply voltage of the electric drive and the gain of the correcting link in the feedback circuit. It is revealed that the boundary of the stability region on the plane of the variable parameters has a pronounced extremum in the form of a maximum at the bifurcation point of codimension two, also called the resonance point 1: 2. On one side of this point, the stability region is bounded by the NeimarkSacker bifurcation line, and on the other, by the period-doubling bifurcation line. This means that with a change in the parameters, the radius of the stability region first increases, reaching a maximum at the resonance point 1: 2, and then decreases. This important conclusion can be used in optimization calculations. Conclusion. The analysis of the vibration stability of the impulse system of direct current electric drive, the behavior of which is described by differential equations of the discontinuous right-hand side, is carried out. The problem of finding periodic solutions to differential equations is reduced to the problem of finding fixed points of the map. The fixed points of the map satisfy a system of nonlinear equations, which was solved numerically by the NewtonRaphson method. The stability of periodic solutions of differential equations corresponds to the stability of fixed points of the corresponding map. The studies were carried out with variation of the gain in the feedback circuit and the supply voltage. It is revealed that the loss of a fixed point occurs through the supercritical Neimark-Sacker bifurcation, when the complex-conjugate pair of multipliers leaves the unit circle when the parameters change. However, with an increase in the supply voltage, the Neimark-Saker bifurcation boundary passes into the perioddoubling bifurcation boundary at the 1: 2 resonance point.

система автоматического управления электроприводомширотно-импульсная модуляцияустойчивости периодических режимовкусочно-гладкие отображениябифуркация Неймарка-Сакерабифукация удвоения периодаточка резонанса 1:2electric drive automatic control systempulse-width modulationstability of periodic modespiecewise smooth mapsNeimark-Sacker bifurcationperiod doubling bifurcation1: 2 resonance pointReferencesXаотическая динамика импульсных систем / Ж. Т. Жусубалиев, В. Г. Рубанов, В. С. Титов, О. О. Яночкина. Белгород: Изд-во БГТУ, 2018.Zhusubaliyev Zh. T., Rubanov V. G., Titov V. S., Yanochkina O. O. Xaoticheskaya dinamika impul'snykh sistem [Chaotic dynamics of impulse systems]. Belgorod, 2018 (In Russ.)Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific; 2003. https://doi.org/10.1142/5313Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003. https://doi.org/10.1142/5313Зотин Д. В., Михальченко Г.Я. Режимы функционирования электропривода постоянного тока с импульсным регулированием // Проблемы автоматизации энергосберегающих технологий: сборник научных трудов / под. ред. Г.Я. Михальченко. Брянск: Изд.-во БГТУ, 2001. С. 79 –87.Zotin D. V., Mikhal'chenko G.Ya. [Modes of operation of a DC electric drive with pulse control]. Problemy avtomatizatsii energosberegayushchikh tekhnologii. Sbornik nauchnykh trudov [Problems of automation of energy-saving technologies: collection of scientific papers]. Bryansk, BGTU Publ., 2001, pp. 79-87 (In Russ.)Feigin M. Doubling of the oscillation period with C-bifurcations in piecewise continuous systems // J. Appl. Math. Mech. 1970. Vol. 34. № (5)6. Р. 822–830. https://doi.org/10.1016/0021-8928(70)90064-XFeigin M. Doubling of the oscillation period with C-bifurcations in piecewise continuous systems. J. Appl. Math. Mech, 1970, vol. 34, no. (5)6, pp. 822–830. https://doi.org/10.1016/0021-8928(70)90064-XFilippov A.F. Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1988. https://doi.org/10.1007/978-94-015-7793-9Filippov A.F. Differential Equations with Discontinuous Righthand Sides. Dordrecht, Kluwer Academic Publishers; 1988. https://doi.org/10.1007/978-94-015-7793-9Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications / di M. Bernardo, C. J. Budd, A. R. Champneys, P. Kowalczyk. London: Springer-Verlag, 2008. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-708-4di Bernardo M., Budd C. J., Champneys A. R., Kowalczyk P. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications. London, Springer-Verlag, 2008. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-708-4Kuznetsov Yu. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York, Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7Kuznetsov Yu. Elements of Applied Bifurcation Theory. New York, Springer, 2004. https://doi.org/10.1007/978-1-4757-3978-7Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane / D. G. Aronson, M. A. Chory, G. R. Hall, R.P. McGehee // A computer-assisted study. Comm. Math. Physics. 1982, vol. 83. № 3. Р. 303–354. https://doi.org/10.1007/BF01213607Aronson D. G., Chory M. A., Hall G. R., McGehee R.P. Bifurcations from an invariant circle for two-parameter families of maps of the plane. A computer-assisted study. Comm. Math. Physics, 1982, vol. 83, no.3, pp. 303–354. https://doi.org/10.1007/BF01213607Global bifurcations of closed invariant curves in two-dimensional maps: A computer assisted study / A. Agliari, G.-I. Bischi, R. Dieci, L. Gardini // Int. J. Bifurcation Chaos. 2005. Vol. 15. № 4. Р. 1285–1328, https://doi.org/10.1142/S0218127405012685Agliari A., Bischi G.-I., Dieci R., Gardini L. Global bifurcations of closed invariant curves in two-dimensional maps: A computer assisted study. Int. J. Bifurcation Chaos, 2005, vol. 15, no. 4, pp. 1285–1328. https://doi.org/10.1142/S0218127405012685Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in a DC/DC converter // IEEE Trans. Circ. & Sys. I. 2006. Vol. 53. № 8. Р. 1839–1850. https://doi.org/10.1109/TCSI.2006.879060Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in a DC/DC converter. IEEE Trans. Circ. & Sys. I. 2006, vol. 53, no. 8, pp. 1839–1850. https://doi.org/10.1109/TCSI.2006.879060Sushko I., Gardini L. Center Bifurcation for a Two-Dimensional border-Collision Normal Form // Int. J. Bifurcation Chaos. 2008. Vol. 18. №4. P. 1029–1050. https://doi.org/10.1142/S0218127408020823Sushko I., Gardini L. Center Bifurcation for a Two-Dimensional border-Collision Normal Form. Int. J. Bifurcation Chaos, 2008, vol. 18, no. 4, pp. 1029–1050. https://doi.org/10.1142/S0218127408020823Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems // Physica D. 2008. Vol. 237, № 7. P. 930 – 936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems. Physica D., 2008, vol. 237, no. 7, pp. 930 – 936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems // Physics Letters A. 2008. Vol. 372, № 13. P. 2237–2246. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.08.077Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Direct transition from a stable equilibrium to quasiperiodicity in non-smooth systems. Physics Letters A., 2008, vol. 372, no. 13, pp. 2237–2246. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2007.08.077Zhusubaliyev Zh. T., Soukhoterin E., Mosekilde E. Quasiperiodicity and torus breakdown in a power electronic DC/DC converter // Mathematics and Computers in Simulation. 2007. Vol. 73, № 6. P. 364–377. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2006.06.021Zhusubaliyev Zh. T., Soukhoterin E., Mosekilde E. Quasiperiodicity and torus breakdown in a power electronic DC/DC converter. Mathematics and Computers in Simulation, 2007, vol. 73, no. 6, pp. 364–377. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2006.06.021Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yanochkina O.O. Torus bifurcations in multilevel converter systems // Int. J. Bifurcation Chaos. 2011. Vol. 21, № 8. P. 2343-2356. https://doi.org/10.1142/S0218127411029835Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yanochkina O.O., Torus bifurcations in multilevel converter systems. Int. J. Bifurcation Chaos, 2011, vol. 21, no. 8, pp. 2343-2356. https://doi.org/10.1142/S0218127411029835An Exploration of Dynamical Systems and Chaos / J. Argyris, G. Faust, M. Haase, R. Friederich. New York: Springer. 2015. https://doi.org/10.1007/978-3-662-46042-9Argyris J., Faust G., Haase M., Friederich R. An Exploration of Dynamical Systems and Chaos. New York: Springer; 2015. https://doi.org/10.1007/978-3-662-46042-9Alligood K.T., Sauer T.D., Yorke J. A. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. New York: Springer, 2000. https://doi.org/10.1007/b97589Alligood K.T., Sauer T.D., Yorke J. A. Chaos: An Introduction to Dynamical Systems. New York: Springer, 2000. https://doi.org/10.1007/b97589Parker T. S. Chua L.O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Berlin: Springer-Verlag, 1989. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9Parker T. S. Chua L.O. Practical Numerical Algorithms for Chaotic Systems. Berlin: Springer-Verlag, 1989. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-3486-9Strogatz S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 2nd ed. Boulder: Westview Press, 2015. https://doi.org/10.1063/PT.3.2751Strogatz S. H. Nonlinear Dynamics and Chaos: With Applications to Physics, Biology, Chemistry, and Engineering. 2nd ed. Boulder, Westview Press, 2015. https://doi.org/10.1063/PT.3.2751Palis J., De Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems. New York, Berlin: Springer-Verlag, 1982. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5703-5Palis J., De Melo W. Geometric Theory of Dynamical Systems. New York, Berlin: Springer-Verlag, 1982. https://doi.org/10.1007/978-1-4612-5703-5Avrutin V., Gardini L., Sushko I., Tramontana F. Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures. Singapore: World Scientific, 2019. https://doi.org/10.1142/8285Avrutin V., Gardini L., Sushko I., Tramontana F. Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures. Singapore: World Scientific, 2019. https://doi.org/10.1142/8285

The authors declare that there are no conflicts of interest present.