izvestswsuИзвестия Юго-Западного государственного университетаProceedings of the Southwest State University2223-15602686-6757ЮЗГУ10.21869/2223-1560-2020-24-3-137-151izvestswsu-798Research ArticleИнформатика, вычислительная техника и управлениеComputer science, computer engineering and IT managmentБифуркационный анализ кусочно-гладких бимодальных отображений с помощью нормальной формыBifurcation Analysis of Piecewise Smooth Bimodal Maps Using Normal Formhttps://orcid.org/0000-0001-5534-9902ЖусубалиевЖ. Т.ZhusubaliyevZ. T.

Жусубалиев Жаныбай Турсунбаевич, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры вычислительной техники

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040

Zhanybai T. Zhusubaliyev, Dr. of Sci. (Engineering), Professor, Department of Computer Science

50 Let Oktyabrya str. 94, Kursk 305040

zhanybai@gmail.comКузьминаД. С.KuzminaD. S.

Кузьмина Дарья Сергеевна, магистр кафедры вычислительной техники

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040

Daria S. Kuzmina, Master Student of the Department of Computer Science

50 Let Oktyabrya str. 94, Kursk 305040

dariakosmo@gmail.comЯночкинаО. О.YanochkinaO. O.

Яночкина Ольга Олеговна, кандидат технических наук, доцент кафедры вычислительной техники

ул. 50 лет Октября 94, г. Курск 305040

Olga О. Yanochkina, Cand. of Sci. (Engineering), Associate Professor, Department of Computer Science

50 Let Oktyabrya str. 94, Kursk 305040

yanoolga@gmail.comЮго-Западный государственный университетSouthwest State University202006122020243137151Copyright © Жусубалиев Ж.Т., Кузьмина Д.С., Яночкина О.О., 20202020Жусубалиев Ж.Т., Кузьмина Д.С., Яночкина О.О.Zhusubaliyev Z.T., Kuzmina D.S., Yanochkina O.O.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://izvestswsu.elpub.ru/jour/article/view/798

Цель работы. Исследование бифуркаций в бимодальных кусочно-гладких отображениях с использованием кусочно-линейного непрерывного отображения в качестве нормальной формы. Методы. Мы предлагаем методикy определения параметров нормальной формы на базе линеаризации кусочно-гладкого отображения в окрестности критической неподвижной точки. Результаты. На плоскости параметров численно и аналитически построена область устойчивости неподвижной точки. Показано, что эта область ограничена двумя бифуркационными кривыми: линиями классической бифуркации удвоения периода и «border collision» бифуркации. Предложена методика определения параметров нормальной формы как функции параметров кусочно-гладкого отображения. Проведен анализ «border-collision» бифуркаций с использованием кусочно-линейной нормальной формы. Заключение. Выполнен бифуркационный анализ кусочно-гладкого необратимого бимодального отображения класса Z1–Z3–Z1, моделирующего динамику системы управления с импульсной модуляцией. Предложена методика расчёта параметров кусочно-линейного непрерывного отображения, используемого в качестве нормальной формы. Рассчитаны основные бифуркационные переходы при выходе из области устойчивости как с использованием исходного отображения, так и с помощью кусочно-линейной нормальной формы. Численно доказана топологическая эквивалентность этих отображений, указывающая на достоверность результатов расчёта параметров нормальной формы.

Purpose of reseach. Studyof bifurcations in piecewise-smooth bimodal maps using a piecewise-linear continuous map as a normal form. Methods. We propose a technique for determining the parameters of a normal form based on the linearization of a piecewise-smooth map in a neighborhood of a critical fixed point. Results. The stability region of a fixed point is constructed numerically and analytically on the parameter plane. It is shown that this region is limited by two bifurcation curves: the lines of the classical period-doubling bifurcation and the “border collision” bifurcation. It is proposed a method for determining the parameters of a normal form as a function of the parameters of a piecewise smooth map. The analysis of "border-collision" bifurcations using piecewise-linear normal form is carried out. Conclusion. A bifurcation analysis of a piecewise-smooth irreversible bimodal map of the class Z1–Z3–Z1 modeling the dynamics of a pulse–modulated control system is carried out. It is proposed a technique for calculating the parameters of a piecewise linear continuous map used as a normal form. The main bifurcation transitions are calculated when leaving the stability region, both using the initial map and a piecewise linear normal form. The topological equivalence of these maps is numerically proved, indicating the reliability of the results of calculating the parameters of the normal form.

кусочно-гладкое бимодальное отображение класса Z1–Z3–Z1нормальная формакусочно-линейное непрерывное отображение«border collision» бифуркацииpiecewise smooth bimodal map of class Z1–Z3–Z1normal formpiecewise linear continuous map"border collision" bifurcationReferencesSharkovsky A., Kolyada S., Sivak A., Fedorenko V. Dynamics of One-dimensional Maps. Dordrecht: Springer; 1997. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8897-3Sharkovsky A., Kolyada S., Sivak A., Fedorenko V. Dynamics of One-dimensional Maps. Dordrecht: Springer; 1997. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8897-3Bifurcations of attracting cycles from delayed Chua’s circuit / Yu. L. Maistrenko, V. L. Maistrenko, S. U. Vikil, L. O. Chua // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. № 5 (3). Р. 653–671. https://doi.org/10.1142/S021812749500051XMaistrenko Yu. L., Maistrenko V. L., Vikil S. U., Chua L. O. Bifurcations of attracting cycles from delayed Chua’s circuit. Int. J. Bifurcation and Chaos, 1995, no.5 (3), pp. 653–671. https://doi.org/10.1142/S021812749500051XBifurcations in one-dimensional piecewise smooth maps: Theory and applications in switching circuits / S. Banerjee, M. S. Karthik, G. Yuan, J. A. Yorke // IEEE Trans. Circ. and Sys. I. 2000. № 47 (3). Р. 389–394. https://doi.org/10.1109/81.841921Banerjee S., Karthik M. S., Yuan G., Yorke J. A. Bifurcations in one-dimensional piecewise smooth maps: Theory and applications in switching circuits. IEEE Trans. Circ. and Sys. I, 2000, no. 47 (3), pp. 389–394. https://doi.org/10.1109/81.841921Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific; 2003. https://doi.org/10.1142/5313Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Piecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003. https://doi.org/10.1142/5313Panchuk A., Sushko I., Schenke B., Avrutin V. Bifurcation structures in a bimodal piecewise linear map: regular dynamics. Int. J. Bifurcation and Chaos. 2013, № 23 (12). Р. 1330040. https://doi.org/10.1142/S0218127413300401Panchuk A., Sushko I., Schenke B., Avrutin V. Bifurcation structures in a bimodal piecewise linear map: regular dynamics. Int. J. Bifurcation and Chaos, 2013, no. 23 (12), 1330040 p. https://doi.org/10.1142/S0218127413300401Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures / V. Avrutin, L. Gardini, I. Sushko, F. Tramontana // Singapore: World Scientific. 2019. https://doi.org/10.1142/8285Avrutin V., Gardini L., Sushko I., Tramontana F. Continuous and Discontinuous Piecewise-Smooth One-Dimensional Maps: Invariant Sets and Bifurcation Structures. Singapore: World Scientific, 2019. https://doi.org/10.1142/8285Chaotic Dynamics in Two-Dimensional Noninvertible Maps / C. Mira, L. Gardini, A. Barugola, J. C. Cathala // Singapore: World Scientific; 1996. https://doi.org/10.1142/2252Mira C., Gardini L., Barugola A., Cathala J. C. Chaotic Dynamics in Two-Dimensional Noninvertible Maps. Singapore: World Scientific, 1996. https://doi.org/10.1142/2252Feigin M. I. Doubling of the oscillation period with C-bifurcations in piecewise continuous systems // J. Appl. Math. Mech. 1970. №34 (5). Р. 822 – 830. https://doi.org/10.1016/0021-8928(70)90064-XFeigin M. I. Doubling of the oscillation period with C-bifurcations in piecewise continuous systems. J. Appl. Math. Mech, 1970, no. 34 (5), pp. 822 – 830. https://doi.org/10.1016/0021-8928(70)90064-XLocal analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems / di M. Bernardo, M. I. Feigin, S. J. Hogan, M. E. Homer // Chaos, Solitons and Fractals. 1999. №10 (11). Р. 1881 – 1908. https://doi.org/10.1016/S0960-0779(98)00317-8di Bernardo M., Feigin M. I., Hogan S. J., Homer M. E. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems. Chaos, Solitons and Fractals, 1999, no. 10 (11), pp. 1881 – 1908. https://doi.org/10.1016/S0960-0779(98)00317-8.Nusse H. E., Yorke J. A. Border-collision bifurcations including “period two to period three” for piecewise smooth systems // Physica D. 1992. № 57 (1-2). Р. 39 – 57. https://doi.org/10.1016/0167-2789(92)90087-4Nusse H. E., Yorke J. A. Border-collision bifurcations including “period two to period three” for piecewise smooth systems. Physica D. 1992, no. 57 (1-2), pp. 39 – 57. https://doi.org/10.1016/0167-2789(92)90087-4Nusse H. E., Yorke J. A. Border collision bifurcation: an explanation for observed bifurcation phenomena // Physical Review E. 1994. № 49. Р. 1073-1076. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.49.1073Nusse H. E., Yorke J. A. Border collision bifurcation: an explanation for observed bifurcation phenomena. Physical Review E, 1994, no. 49, pp. 1073-1076. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.49.1073Nusse H. E., Yorke, J. A. Border-collision bifurcations for piecewise smooth one dimensional maps // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995. № 5 (1). Р. 189–207. https://doi.org/10.1142/S0218127495000156Nusse H. E., Yorke, J. A. Border-collision bifurcations for piecewise smooth one dimensional maps. Int. J. Bifurcation and Chaos. 1995, no. 5 (1), pp. 189–207. https://doi.org/10.1142/S0218127495000156Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications / M. di Bernardo, C. J. Budd, A. R. Champneys, P. Kowalczyk. London: Springer-Verlag, 2008. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-708-4di Bernardo M., Budd C. J., Champneys A. R., Kowalczyk P. Piecewise-Smooth Dynamical Systems: Theory and Applications. London: Springer-Verlag, 2008. https://doi.org/10.1007/978-1-84628-708-4Dangerous bifurcations revisited / V. Avrutin, Zh. T. Zhusubaliyev, A. Saha, S. Banerjee, I. Sushko, L. Gardini // Int. J. Bifurcation and Chaos. 2016. № 26 (14). Р. 1630040 (24 pages). https://doi.org/10.1142/S0218127416300408Avrutin V., Zhusubaliyev Zh. T., Saha A., Banerjee S., Sushko I., Gardini L. Dangerous bifurcations revisited. Int. J. Bifurcation and Chaos. 2016, no. 26 (14), 1630040 p. (24 pages). https://doi.org/10.1142/S0218127416300408Transitions from phase-locked dynamics to chaos in a piecewise-linear map / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde, S. De, S. Banerjee // Physical Review E. 2008. № 77. Р. 026206. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.77.026206Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., De S., Banerjee S. Transitions from phaselocked dynamics to chaos in a piecewise-linear map. Physical Review E, 2008, no. 77, 026206 p. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.77.026206Border collision route to quasiperiodicity: Numerical investigation and experimental confirmation / Zh. T. Zhusubaliyev, E. Mosekilde, S. Maity, S. Mohanan, S. Banerjee // Chaos. 2006. № 16(2). Р. 023122. https://doi.org/10.1063/1.2208565Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Maity S., Mohanan S., Banerjee S., Border collision route to quasiperiodicity: Numerical investigation and experimental confirmation. Chaos, 2006, no. 16(2), 023122 p. https://doi.org/10.1063/1.2208565Sushko I., Avrutin V., Gardini L. Bifurcation structure in the skew tent map and its application as a border collision normal form // Journal of Difference Equations and Applications. 2016. №22(8). Р.1040–1087. http://dx.doi.org/10.1080/10236198.2015.1113273Sushko I., Avrutin V., Gardini L. Bifurcation structure in the skew tent map and its application as a border collision normal form. Journal of Difference Equations and Applications, 2016, no. 22(8), pp. 1040–1087. http://dx.doi.org/10.1080/10236198.2015.1113273Sushko I., Gardini L., Avrutin V. Nonsmooth one-dimensional maps: some basic concepts and definitions // Journal of difference equations and applications. 2016. № 22 (12). Р. 1816-1870. http://dx.doi.org/10.1080/10236198.2016.1248426.Sushko I., Gardini L., Avrutin V. Nonsmooth one-dimensional maps: some basic concepts and definitions. Journal of difference equations and applications. 2016, no. 22 (12), pp. 1816-1870. http://dx.doi.org/10.1080/10236198.2016.1248426.Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems. Physica D. 2008. №237(7). Р. 930 – 936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Equilibrium-torus bifurcation in nonsmooth systems. Physica D. 2008, no. 237(7), pp. 930 – 936. https://doi.org/10.1016/j.physd.2007.11.019Onset of chaos in a single-phase power electronic inverter / V. Avrutin, E. Mosekilde, Zh. T. Zhusubaliyev, L. Gardini // Chaos. 2015. №25 (4). Р. 043114-1 – 043114-14. https://doi.org/10.1063/1.4918299Avrutin V., Mosekilde E., Zhusubaliyev Zh. T., and Gardini L. Onset of chaos in a single-phase power electronic inverter. Chaos, 2015, no. 25 (4), pp. 043114-1 – 043114-14. https://doi.org/10.1063/1.4918299

The authors declare that there are no conflicts of interest present.