Жаныбай Турсунбаевич Жусубалиев, доктор технических наук, профессор, профессор кафедры, руководитель лаборатории
кафедра вычислительной техники; Международная научнаялаборатория динамики негладких систем
305040; ул. 50 лет Октября, д. 94; Курск
Zhanybai T. Zhusubaliyev, Dr. of Sci. (Engineering), Professor, Professor of Department, Head of the Laboratory
Computer Engineering Department; International Scientific Laboratory of Dynamics of Nonsmooth Systems of Space
305040; 50 Let Oktyabrya str. 94; Kursk
Елена Николаевна Иванова, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры
кафедра вычислительной техники
305040; ул. 50 лет Октября, д. 94; Курск
Elena N. Ivanova, Cand. of Sci. (Engineering), Associate Professor, Associate Professor of Department
Computer Engineering Department
305040; 50 Let Oktyabrya str. 94; Kursk
Уланбек Адахимжанович Сопуев, кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой
Институт математики, физики, техники и информационных технологий; кафедра высшей математики
723500; ул. Ленина, д. 331; Ош
Ulanbek A. Sopuev, Cand. of Sci. (Physico-Mathematical), Associate Professor, Head of Department
Higher Mathematics Department
723500; 331, Lenin str.; Osh
Жадира Токановна Жумашева, кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры
кафедра механики
050040; пр. аль-Фараби, д. 71; Алматы
Zhadira T. Zhumasheva, Cand. of Sci. (Engineering), Associate Professor, Associate Professor of Department
Mechanics Department
050040; 71, al-Farabi Ave; Almaty
Дмитрий Юрьевич Цуканов, студент
305040; ул. 50 лет Октября, д. 94; Курск
Dmitriy Yu. Tsukanov, Student
305040; 50 Let Oktyabrya str. 94; Kursk
Цель работы. Исследуются вырожденные бифуркации («degenerate bifurcations») и бифуркации слияния («merging») хаотических аттракторов в системе управления с широтно-импульсной модуляцией, поведение которой описывается бимодальным кусочно-линейным непрерывным отображением. Хорошо известно, что в кусочно-линейных отображениях классические бифуркации такие, как удвоения периода, транскритическая и вилообразная, становятся вырожденными, сочетающие свойства классических гладких бифуркаций и бифуркаций граничного столкновения («border collision bifurcations»).
Методы. Описано получение математической модели системы в форме кусочно-линейного отображения из векторного поля с разрывной правой частью методом построения стробоскопического отображения Пуанкаре. Выполнен анализ вырожденных бифуркаций удвоения периода методами теории критических линий в необратимых отображениях.
Результаты. Выявлено, что рассматриваемое отображение обладает необычным свойством, которое заключается в следующем. В точке бифуркации удвоения периода неподвижной точки появляется интервал I, на границах которого лежат две точки цикла удвоенного периода. Причем, любая точка I, есть периодическая точка с периодом два. Доказано, что точки цикла удвоенного периода, лежащие на границе указанного интервала, совпадают с двумя многообразиями переключения. В качестве конкретного примера реальной физической системы, изучение которой сводится к кусочно-линейному отображению, рассмотрен преобразователь энергии с широтно-импульсным управлением. Приведены осциллограммы колебаний напряжения нагрузки, отвечающие неподвижной точке, циклу периода два и хаотическим режимам.
Заключение. Изучены вырожденные бифуркации удвоения периода колебаний и бифуркации слияния циклов хаотических интервалов. Бифуркации циклов хаотических интервалов известны еще как кризисы хаотических аттракторов («merging crisis»). В точке бифуркации неустойчивая неподвижная точка с отрицательным мультипликатором сталкивается с границами хаотических аттракторов. Границы же хаотических аттракторов образованы так называемыми критическими точками и их образами. В момент бифуркации возникает негрубая гомоклиническая орбита. В силу того, что рассматриваемое отображение является кусочно-линейным, уравнения бифуркационных границ получены аналитически, решения которых находятся либо аналитически, либо численно.
Purpose. In this paper we study degenerate bifurcations and merging bifurcations of chaotic attractors in a pulse-width modulated control system, the behavior of which is described by a bimodal piecewise linear continuous mapping. It is well known that in piecewise linear maps, classical bifurcations such as period doubling, transcritical and pitchfork, become degenerate, combining the properties of classical smooth bifurcations and border collision bifurcations.
Methods. First we describe а technique for obtaining of a piecewise linear mapping from a vector field with a discontinuous right-hand side using the method construction of the Poincare map. Then are investigated degenerate period -doubling bifurcations by methods of the theory of critical lines for non-invertible maps.
Results. We found that the considered mapping has an unusual property, which is as follows. At the flip bifurcation point for a fixed point, an interval I appears, on the boundaries of which two points of the period doubled cycle lie. Moreover, any point of this interval is a periodic point with a period of two. We have proved that periodic points with a period of two lying on the boundaries of this interval coincide with two switching manifolds. As a specific example of a real physical system, we consider a power converter system with pulse width modulated control, which is modeled by a piecewise linear mapping. Moreover, we experimentally show a fixed point, a 2-cycle and chaotic oscillations.
Conclusion. Finally we have studied degenerate period-doubling bifurcations and merging bifurcations of cyclic chaotic attractors. Such bifurcation is also known as a merging crisis. At the bifurcation point, an unstable fixed point with a negative multiplier collides with the boundaries of a chaotic attractor. It is well known, that the boundaries of a chaotic attractor are formed by the so-called critical points and their images. At the moment of bifurcation, a homoclinic orbit arises. Due to the fact that the considered mapping is piecewise linear, the equations of bifurcation boundaries are obtained analytically, the solutions of which are either analytically or numerically.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.